Superficies con curvaturas prefijadas en m2 x r y superficies mínimas de Laguerre.

Resumen

Esta tesis trata sobre el estudio de superficies, en diferentes variedades ambiente 3-dimensionales, para las cuales alguna de sus funciones curvatura sea constante o acotada, o se verifique alguna relación entre ellas. En los dos primeros capítulos se fija la notación junto con algunos conceptos previos, y se recogen, a modo de resumen, algunos resultados recientes sobre superficies en ambientes del tipo M2xR que se utilizan posteriormente. El capítulo tercero se desarrolla en espacios ambiente del tipo M2xR, donde M2 es una superficie riemanniana en las condiciones más generales posibles. Se describe, en primer lugar, un proceso general de construcción de barreras en estos ambientes, a partir de barreras ya conocidas en otros. Estas barreras se utilizan junto con el principio del máximo en ambientes M2xR para los operadores curvatura media y curvatura extrínseca, cuando esta es positiva, permitiendo obtener condiciones de existencia y de no existencia de superficies con curvatura media o curvatura extrínseca constante o acotada. Se prueba también un resultado de existencia de grafos con curvatura extrínseca constante positiva, que resuelve el problema de Dirichlet asociado a una ecuación del tipo Monge-Ampere con condiciones de contorno cero. En el capítulo cuarto, en los ambientes H2xR y S2xR, se estudian superficies compactas, con curvatura de Gauss constante y con borde, situado éste sobre una sección horizontal. Para este tipo de superficies se caracterizan aquellas cuya función ángulo es constante sobre su borde y se dan estimaciones de área cuando la función ángulo no sea necesariamente constante sobre el borde. En el último capítulo, se da una generalización de las llamadas superficies mínimas de Laguerre, que clásicamente se caracterizan como aquellas superficies para las cuales el cociente entre su curvatura media y su curvatura de Gauss es una función armónica para la métrica definida por la tercera forma fundamental de la inmersión. Para esta nueva clase de superficies se da una representación conforme. Se clasifican completamente las superficies de dicha clase llanas para la denominada métrica de Laguerre y se estudia la relación entre la completitud de la métrica euclídea y la completitud de la métrica de Laguerre. En este contexto se plantea y se resuelve un problema tipo Björling y, como consecuencia de la solución obtenida, se describen aquellas superficies que son de rotación de la nueva clase.