La ecuación de Codazzi en superficies

Resumen

La tesis se divide en tres partes, la primera dedicada al estudio abstracto de pares de Codazzi para, en las dos siguientes, obtener resultados sobre superficies en espacios modelo y espacios producto, junto con otras técnicas geométricas, En el capítulo 1, tras establecer la notación y elementos necesarios, se introduce el concepto de Par Fundamental, esto es, dada una superficie abstracta será un par (I, II) de formas cuadráticas definidas sobre la superficie tal que I es una métrica riemanniana. Se llega así al primer objeto de estudio, el Tensor de Codazzi asociado a todo par fundamental sobre una superficie, dando su definición y propiedades inmediatas de ésta. Pasaremos después a la definición del siguiente objeto de estudio, la Función de Codazzi, obteniendo los primeros resultados destacables. Más concretamente, se relaciona la función de Codazzi de un par fundamental (I, II) con la diferencial cuadrática que viene dada por la parte (2,0) de II cuando consideramos la estructura conforme que induce sobre la superficie la métrica riemanniana. Así, seremos capaces de controlar los ceros de dicha diferencial mediante esta función, lo que nos permitirá, dando condiciones sobre la función de Codazzi, obtener información de la superficie. A partir de ese momento, nos restringiremos al estudio de Pares de Codazzi, esto es, pares fundamentales tales que verifican que su tensor de Codazzi se anula idénticamente. Por otro lado, modificaremos la estructura conforme inducida en la superficie por I, de forma adecuada, para poder seguir estudiando propiedades del par original que estemos considerando. Esta construcción la podremos llevar a cabo para una amplia clase de superficies. Dicho de otra forma, podremos controlar el tensor de Codazzi del par de partida a partir del segundo par, sin alterar las propiedades fundamentales en las que estamos interesados. El siguiente punto a tratar será restringir los resultados obtenidos hasta el momento para un tipo de pares, los pares especiales de Weingarten, que son aquéllos en los que su curvatura media H y curvatura asimétrica q = H2-K están relacionadas por una función H = f(q). Veremos cómo los resultados abstractos conseguidos hasta el momento se tornan en potentes resultados para estos pares. Seremos capaces, por ejemplo, de clasificar todos los pares de Codazzi abstractos que sean especiales de Weingarten, así como obtener una generalización del Teorema de Hopf abstracto para estas superficies. Dentro de estos pares especiales de Weingarten, nos centraremos en aquéllos que son de tipo elíptico, ya que para este tipo de pares podremos controlar la completitud de la métrica riemanniana del segundo par a partir de la completitud de la métrica original. Por último, usaremos las herramientas estudiadas hasta el momento para obtener algunas otras consecuencias sobre pares de Codazzi, como una generalización del Teorema de Bonnet. Continuaremos recordando el Principio del Máximo de Hopf en su versión más conocida, esto es, para ecuaciones diferenciales elípticas de segundo orden. Veremos cómo se aplica este resultado a superficies en R3, aunque también a otros espacios modelo es aplicable. Una vez fijados los preliminares analíticos, examinaremos el Método de Alexandrov para superficies que verifican el Principio del Máximo. A partir de aquí, nos centraremos en clases de superficies que verifican el Principio del Máximo y tales que existe una esfera embebida dentro de dicha clase. Para este tipo de superficies obtendremos estimaciones de la altura máxima que puede alcanzar un grado definido sobre un plano, para obtener, usando el Método de Alexandrov, estimaciones sobre la distancia máxima que puede alcanzar una superficie compacta y embebida con borde en un plano. Así pues tenemos dos ingredientes fundamentales, el Método de Alexandrov y estimaciones de altura, para toda clase de superficies que verifican el Principio del Máximo y tal que existe una superficie compacta embebida dentro de la clase. Dichos ingredientes son las herramientas necesarias para clasificar las superficies propiamente embebidas, topología finita y uno o dos finales. Proseguiremos estudiando superficies especiales de Weingarten en R3, esto es, aquellas cuya curvatura media H y curvatura asimétrica q = H2 - K se relacionan por H = f(q) donde f es una función diferenciable. Aplicaremos los resultados abstractos obtenidos en la primera parte a las superficies especiales de Weingarten y obtendremos un Teorema tipo Hopf y un Teorema tipo Bonnet para estas superficies. Nos adentraremos después en un tipo concreto de superficies especiales, las de tipo elíptico. Este tipo de superficies tienen un comportamiento singular dependiendo de lo que ocurra en los puntos umbilicales; es decir, como H = f(q) y los puntos umbilicales son aquellos en los que q = 0, el comportamiento depende del valor f(0). Si f(0) = 0 se comporta como una superficie minimal y si f(0) es distinto de 0 como una superficie de CMC. Revisaremos algunos de los resultados conocidos para este tipo de superficies como, por ejemplo, que verifican el Principio del Máximo. Si f(0) es distinto de 0, dentro de la clase de superficies existe una esfera de radio 1/¿f(0)¿, y por tanto una superficie de tipo elíptico con f(0) distinto 0 cumple todos los requisitos necesarios para aplicar los resultados obtenidos para superficies propiamente embebidas de topología finita. Apoyándonos en un resultado de Sa Earp y Toubiana conseguiremos caracterizar las superficies especiales de tipo elíptico, con dos finales y de topología finita como una de revolución. Por último, daremos algunos resultados de clasificación para las superficies especiales de tipo elíptico imponiéndole alguna condición extra sobre la curvatura de Gauss. Concretamente veremos que si la curvatura de Gauss no cambia de signo entonces la superficie debe ser un plano, un cilindro recto o una esfera. La última parte está dedicada al estudio de superficies inmersas en un espacio producto tridimensional, prestando especial atención a aquellas cuya curvatura media, intrínseca o extrínseca sea constante. Pasaremos a obtener estimaciones de la distancia máxima que puede alcanzar un grafo compacto de CMC H > ¿ con respecto al plano vertical u horizontal sobre el que se apoya su borde, para obtener, usando el Método de Alexandrov, estimaciones de la distancia máxima que alcanza una superficie compacta y embebida con borde en un plano vertical u horizontal. Cabe destacar que las estimaciones verticales son óptimas en el sentido de que caracterizan a los ejemplos completos de revolución cuando se alcanza dicha altura máxima. Aunque las estimaciones horizontales no serán óptimas, sí serán suficientes para estudiar superficies propiamente embebidas con curvatura media constante, de topología finita y un solo final, obteniendo que estas superficies no pueden existir. Lo siguiente será estudiar superficies con curvatura de Gauss constante en H2xR y S2 x R. Comenzaremos estudiando aquellas que son de revolución. Una vez obtenidas, definiremos sobre la superficie un nuevo par fundamental en términos de la Primera y Segunda Forma Fundamental y la diferencial de la función altura. Lo que haremos será demostrar que este nuevo par es de Codazzi cuando la curvatura de Gauss es constante. Este hecho nos permitirá obtener, usando resultados conocidos de la teoría de Pares de Codazzi, un Teorema tipo Liebmann para las superficies completas con curvatura de Gauss constante K (I) > 0 si estamos en H2 x R o K(I) > 1 si estamos en S2 x R, caracterizándolas como los ejemplos completos de revolución mencionados anteriormente. Además, mostraremos que no existen superficies completas con curvatura de Gauss constante K(I) entre 0 y 1 en S2 x R. Relacionaremos la curvatura de Gauss de la inmersión con la curvatura de Gauss de la nueva métrica que hemos definido sobre la superficie, para así poder obtener un Teorema tipo Hilbert. Concretamente veremos que en este caso no existen superficies completas con curvatura de Gauss constante K(I) <-1 en H2 x R o S2 x R. Continuaremos dando estimaciones para la altura máxima que puede alcanzar un grafo de curvatura de Gauss constante positiva K(I) > 0 en H2 x R (o K(I) > 1 en S2 x R) sobre un plano horizontal, caracterizando, de hecho, las superficies de revolución como aquellas en las que se alcanza la máxima distancia. La última parte de esta memoria está dedicada al estudio de superficies con curvatura extrínseca constante en un espacio producto. El primer resultado destacable en este sentido es obtener un Teorema tipo Hadamard-Stoker en H2 x R. Este teorema en R3 dice que toda superficie completa con curvatura extrínseca positiva en todo punto debe ser embebida y homeomorfa a una esfera o a un plano, en cuyo caso es un grafo sobre algún plano tangente. En nuestro caso, se demuestra que si nuestra superficie es completa y tiene curvatura extrínseca positiva entonces debe ser embebida y homeomorfa a una esfera si es cerrada o a un plano si es abierta, en cuyo caso es un grafo sobre un plano horizontal o tiene un final de un tipo especial, que llamaremos simple. Además, veremos cómo podemos construir de forma sencilla superficies con curvatura extrínseca positiva completas y con un final simple. Centraremos después nuestra atención en superficies con curvatura extrínseca constante positiva en H2 x R y S2 x R, estudiando primero los ejemplos completos de revolución. Definiremos una diferencial cuadrática asociada a estas superficies, tanto en H2 x R como en S2 x R, en términos de la Primera Forma Fundamental, la función ángulo, la curvatura extrínseca y la diferencial de la función altura. El primer resultado que obtendremos será que, cuando consideramos la estructura conforme inducida por la Segunda Forma Fundamental, el módulo de la derivada logarítmica de dicha diferencial está acotado por una función continua sobre la superficie. Un resultado de Alencar-do-Carmo-Tribuzy nos permite asegurar que entonces los ceros de esta diferencial, si no es idénticamente nula, son aislados y de índice negativo. Seguiremos obteniendo estimaciones, tanto verticales como horizontales para estas superficies, probando la no existencia de superficies completas, no compactas con curvatura extrínseca positiva en H2 x R. Para terminar, clasificaremos las superficies completas con curvatura extrínseca constante positiva en H2xR y S2xR como los ejemplos completos de revolución. Para ello, utilizando que la diferencial cuadrática tiene sólo ceros aislados y de índice negativo concluiremos, usando el Teorema del Índice de Poincaré, que dicha diferencial debe anularse idénticamente sobre la superficie. Para finalizar, caracterizaremos los ejemplos de revolución como aquéllos cuya diferencial se anula.