Sistemas transitivos y modelos localmente Cournot

Resumen

Dado un SDD (Sistema Dinámico Discreto) tratamos de estudiar su dinámica, es decir, averiguar el comportamiento asintótico de las trayectorias de todos los puntos del espacio de fases. Este comportamiento depende fuertemente de la topología existente en el espacio de fases y de la morfología de la aplicación definida sobre él. Como consecuencia de esta dependencia, a este tipo de estudio se le conoce como análisis de la dinámica topológica del sistema. El objetivo de este trabajo es doble y está estrechamente relacionado con la evolución histórica de la teoría de los Sistemas Dinámicos. Por un lado estudiamos problema relacionados con una de los nociones dinámicas que está presente en muchas de las definiciones de la noción de caos y por otro lado estudiamos ciertas aplicaciones a modelos que proceden de la economía. A continuación pasamos a describir los contenidos de cada uno de los capítulos en los que se estructura esta memoria. Capítulo 1. Introducimos los conceptos básicos de la teoría de los Sistemas Dinámicos centrándonos en el concepto de la transitividad topológica y establecemos las relaciones de implicación entre la noción de transitividad y las principales definiciones del concepto de caos y entropía topológica. Capítulo 2. Analizamos la estabilidad del concepto de transitividad centrándonos en SDD inducidos por funciones transitivas de clase C1 definidas en el intervalo [0, 1] y que sean topológicamente conjugadas a un polinomio algebraico. Mostramos que existen pequeñas perturbaciones del modelo original fijado que rompen la noción de transitividad y por otro lado, somos capaces de construir otro sistema perteneciente a la misma clase que el sistema original tan cerca, en una norma adecuada, como queramos al sistema original. Capítulo 3. El objetivo de este capítulo es la introducción de los llamados modelos de tipo Cournot, es decir, sistemas dinámicos discretos n-dimensionales que constituyen, por un lado la generalización del bien conocido modelo económico del duopolio de Cournot y por otro lado, conforman el entorno de modelización matemática para ciertos procesos económicos y biológicos. Capítulo 4. Se plantea un modelo n-dimensional que se encuentra a mitad de camino entre la competencia perfecta y el oligopolio y para el que existen rudimentos teóricos para poder estudiar su dinámica. Capítulo 5. Se estudia la dinámica de los modelos con competencia local introducidos en el capítulo anterior. Para dimensiones 3 y 4 y conjunto de vecinos de influencia de dimensión 1 se estudian los puntos de equilibrio y se da cierta información sobre las órbitas periódicas de periodo 2. Para el caso de dimensión 4 se realiza un estudio completo y pormenorizado de la dinámica del sistema.