Exact solutions and conservation laws of nonlinear dispersive partial differential equations. Applications to physics and engineering models. (soluciones exactas y leyes conservativas de ecuaciones en derivadas parciales dispersivas no lineales. Aplicaciones a modelos de la física e ingeniería)

Abstract

La presente tesis doctoral incluye los resultados obtenidos y publicados por la doctoranda en revistas ISI, concernientes a varias familias de ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) no lineales de mucha actualidad, que sirven como modelos de ondas dispersivas no lineales o modelos de reacción-difusión. Las ecuaciones elegidas o derivadas tienen numerosas aplicaciones desde el punto de vista de la física y de la ingeniería, pues describen multitud de fenómenos, como por ejemplo, ondas en aguas poco profundas, ondas rompientes, filtración de fluidos no Newtonianos, absorción en medios porosos, combustión,... Un estudio exhaustivo de las propiedades y soluciones de estas familias de ecuaciones, pueden ayudarnos a entender mejor los modelos físicos que describen. Algunos de los métodos que hemos seleccionado para analizar estas EDPs, sus propiedades y encontrar soluciones exactas son el método de las simetrías de Lie y el método de los multiplicadores para la búsqueda de leyes conservativas. Hemos encontrado familias generales de ecuaciones con importantes propiedades y soluciones. También hemos derivado estructuras hamiltonianas de algunas de las ecuaciones y se han encontrado soluciones interesantes desde el punto de vista de la física y de la ingeniería. El estudio de ecuaciones de onda no lineales que poseen soluciones en forma de solitón es un tema que ha atraído mucho interés recientemente. Un solitón es una onda viajera localizada cuya forma y velocidad se preservan ante interacciones. Estas ondas surgen en numerosos modelos físicos como tsunamis, plasmas y ondas en aguas poco profundas. Solitones que exhiben un pico puntiagudo se llaman peakons. Una superposición lineal de uno o más peakons se conoce como multi-peakon. El estudio de ecuaciones de ondas no lineales que poseen peakons y multi-peakons ha captado mucha atención en los últimos años porque ecuaciones particulares de esta clase describen ondas rompientes y son integrables en el sentido de poseer estructuras Hamiltonianas, que están conectadas con un número infinito de leyes conservativas. En primer lugar, hemos introducido una ecuación no lineal generalizada de Camassa-Holm, dependiendo de una potencia arbitraria p diferente de 0. Esta ecuación reduce a la ecuación de Camassa-Holm cuando p=1 y comparte una de las estructuras Hamiltonianas de la ecuacion de Camassa-Holm. Obtenemos dos importantes resultados. Presentamos una clasificación de simetrías puntuales y derivamos soluciones peakon para toda potencia p diferente de 0. En segundo lugar y más importante, hemos descubierto una familia de ecuaciones peakon más general que la anterior, que envuelve dos funciones arbitrarias de la amplitud de onda y del gradiente de la onda. Esta familia contiene absolutamente todas las ecuaciones de ondas rompientes conocidas, incluyendo las que son integrables: ecuación de Camassa-Holm, ecuación de Degasperis-Procesi equation, ecuación de Novikov equation, y ecuación de FORQ o Camassa-Holm modificada. Como resultado principal, mostramos que todas las ecuaciones de esta familia general poseen soluciones débiles dadas por multi-peakons, que son una superposición lineal de peakons con amplitudes y posiciones dependientes del tiempo. En particular, se deduce que ni la estructura de integrabilidad ni la estructura Hamiltoniana son necesarias para derivar soluciones N-peakon para N>1 arbitrario. Además, demostramos que las soluciones en forma de onda viajera en forma de peakon existen bajo una simple condición en una de las dos funciones arbitrarias de la familia general de ecuaciones, y demostramos que cuando esta condición falla, siguen existiendo un tipo de soluciones en forma de peakon generalizado que tienen amplitud y velocidad dependientes del tiempo. Señalamos un criterio de rotura de ondas o "wave breaking" para esta familia general de ecuaciones peakon. Derivamos la subfamilia más general dentro de esta familia que posee una estructura Hamiltoniana compartida por las ecuaciones de Camassa-Holm y ecuación de FORQ/Camassa-Holm modificada. Como ejemplos, presentamos dos familias uniparamétrica de ecuaciones generalizadas de ecuaciones Camassa-Holm y de FORQ/Camassa-Holm modificada. Para estas ecuaciones mostramos criterios de ondas rompientes. En tercer lugar, presentamos una clasificación para familias de estas ecuaciones multi-peakon que poseen conservación del momento; conservación de la norma H^1 de u; conservación de la norma L^2 de m; leyes conservativas relacionadas. Los resultados dan lugar a dos amplias familias de ecuaciones muy interesantes, entre otras, para las cuales se tiene conservación de la norma H^1 de u y conservación de la norma L^2 de m. A continuación, estudiamos una clase de ecuaciones evolutivas no lineales p-Laplacianas generalizadas. Estas ecuaciones modelan procesos de difusión-reacción radiales en n>=1 dimensiones, donde la difusividad depende de el gradiente del flujo. Para esta clase, derivamos todas las leyes conservativas locales y todas las simetrías de Lie. Discutimos el significado fisico de las leyes conservativas y una de las leyes conservativas se usa para mostrar que la ecuación no lineal se puede aplicar invertiblemente en una ecuación lineal mediante una transformación hodográfica en ciertos casos. Usamos las simetrías para derivar soluciones invariantes exactas utilizando los subgrupos resolubles de dimensión 3 del grupo de simetría, que da como resultado la reducción directa de una ecuación no lineal a una cuadratura. Exploramos las propiedades físicas y analíticas de estas soluciones exactas, algunas de las cuales describen interfaces móviles y funciones de Green. Consideramos además una ecuación generalizada de sexto orden dependiente de una función arbitraria f(u) que surge de la teoría de ecuaciones de ondas. Esta ecuación admite una formulación Hamiltoniana cuando se escribe como un sistema. Presentamos, tanto para la ecuación de Boussinesq generalizada como para el sistema equivalente, clasificaciones de simetrías puntuales y de leyes conservativas en términos de la función f(u). Por último, hemos estudiado leyes conservativas de una ecuación generalizada KdV-Burgers-Kuramoto mediante el método de los multiplicadores y hemos investigado sus sistemas potenciales de primer y segundo nivel. Además, determinamos las simetrías puntuales de Lie de la ecuación y las simetrías puntuales asociadas a los vectores conservados. Obtenemos la reducción por ondas viajeras dependiendo de una función arbitraria y presentamos algunas soluciones explicitas: soluciones en forma de soliton, kinks y antikinks.