Análisis de grupos y leyes conservativas de familias de ecuaciones en derivadas parciales. Aplicaciones a modelos de la física

Abstract

La presente tesis doctoral sintetiza los resultados obtenidos durante el doctorado muchos de los cuales han sido publicados o aceptados en revistas incluidas en el Journal Citation Reports. Estas publicaciones recogen el estudio de varias familias de ecuaciones en derivadas parciales no lineales de coeficientes variables. Tales ecuaciones juegan un papel importante en la actualidad ya que describen muchos fenómenos no lineales de forma más realista que aquellas ecuaciones de coeficientes constantes. Las familias de ecuaciones consideradas son usadas para modelizar una gran cantidad de fenómenos no lineales de gran interés físico en diversas ramas de la ingeniería, la física y la biología, por ejemplo, la propagación de ondas internas en aguas poco profundas, ondas largas en líquidos superficiales de dos capas no homogéneos, la formación de patrones de Turing, pigmentación en pieles y pelos de animales, fenómenos de absorción, evolución de tumores, entre otras. El análisis de estas familias de ecuaciones y la obtención de soluciones exactas es crucial para entender la mayoría de fenómenos físicos que modelizan. Para llevar a cabo este estudio hemos usado métodos de transformaciones infinitesimales, en particular, el método de las simetrías de Lie; así como el método de los multiplicadores de Anco y Bluman y el teorema general de Ibragimov para la búsqueda de leyes conservativas. Las familias de ecuaciones consideradas involucran un cierto número de funciones arbitrarias lo que dificulta su estudio. Por este motivo, cabe destacar el uso de los grupos de transformaciones de equivalencia de estas ecuaciones los cuales han permitido realizar un estudio exhaustivo reduciendo estas familias a subclases de ellas que contienen un menor número de elementos arbitrarios. Los grupos de simetría son una poderosa herramienta en la búsqueda de soluciones exactas. Haciendo uso de los grupos de simetrías podemos reducir el número de variables independientes de la ecuación. En particular, permitirán transformar ecuaciones en derivadas parciales a ecuaciones diferenciales ordinarias, las cuales son, a priori, más fáciles de resolver. Sin embargo, no siempre es evidente cómo integrar estas ecuaciones diferenciales ordinarias. Una opción alternativa es considerar otra ecuación, más simple de estudiar o de la que se conozcan soluciones, de manera que esta ecuación pueda ser transformada mediante una transformación invertible en la ecuación de partida. Para el caso de ecuaciones en derivadas parciales, los invariantes diferenciales dan respuesta a este problema. Por ello, hemos determinado los invariantes diferenciales de las familias de ecuaciones consideradas. En primer lugar, hemos considerado una familia de ecuaciones generalizadas de Gardner que involucra funciones arbitrarias dependiendo del tiempo. La ecuación de Gardner es una generalización de la Korteweg-de Vries (KdV) la cual involucra un término no lineal de mayor orden. Los términos no lineales de mayor orden surgen en diferentes ramas de la física, por ejemplo, en flujos de fluidos estratificados, dinámica de fluidos cuánticos y en la física del plasma. Para esta familia, hemos realizado un estudio de sus simetrías de Lie y hemos determinado algunas leyes conservativas para ciertos valores de las funciones arbitrarias. Más tarde, esta familia fue generalizada permitiendo que los términos no lineales tomaran un orden cualesquiera. El grupo de equivalencia de esta familia ha sido usado para simplificar el análisis de ella y presentar los resultados de una manera simple y clara. Se obtuvieron dos resultados importantes. Por un lado, una clasificación de sus simetrías de Lie. Por otro lado, se determinó las subclases de la familia las cuales son auto-adjunta no lineales y se calcularon los multiplicadores que admite la ecuación. Esto permitió obtener una clasificación de las leyes conservativas de la familia a partir de dos métodos: el método de Ibragimov y el método de los multiplicadores de Anco y Bluman. Para finalizar el estudio sobre esta familia, determinamos soluciones exactas. Para ello, calculamos los invariantes diferenciales y las ecuaciones invariantes de la familia a través del grupo de transformaciones de equivalencia. De esta forma, encontramos la subclase de ecuaciones de coeficientes variables más general de la familia que puede ser transformada a una ecuación de coeficientes constantes por medio de una transformación de equivalencia. Haciendo uso de las soluciones conocidas de la subclase de coeficientes constantes, obtuvimos soluciones exactas de la subclase de coeficientes variables. En segundo lugar, hemos analizado una familia de ecuaciones de KdV de quinto orden. Las ecuaciones de KdV de quinto orden son establecidas como modelos matemáticos con amplias aplicaciones en la física del plasma, la mecánica cuántica y la óptica no lineal. Por ejemplo, simulaciones de ondas magneto-acústicas en plasmas, ondas acústicas en cristales y ondas internas en océanos pueden realizarse haciendo uso de estas ecuaciones. Son muchas las familias de ecuaciones de quinto orden de KdV que han sido estudiadas en las últimas décadas. En esta tesis doctoral, hemos considerado una familia con coeficientes dependiendo del tiempo y un término de amortiguación lineal que generaliza a un gran número de familias anteriormente estudiadas. Debido al número de elementos arbitrarios que involucra esta familia fue necesario determinar el grupo de transformaciones de equivalencia. Este grupo es infinito dimensional lo que nos permitió reducir la familia a una subclase con menor número de funciones arbitrarias. De esta forma fue posible obtener una clasificación de las simetrías de Lie. Además, fueron establecidas las subclases de la ecuación reducida las cuales son auto-adjunta no lineales. Esta propiedad fue usada para construir vectores conservados a partir de las simetrías de Lie usando el teorema general dado por Ibragimov. Para concluir, mediante el uso de un método infinitesimal basado en la determinación del grupo de equivalencia, los invariantes diferenciales y ecuaciones invariantes fueron obtenidos. Al igual que para la familia generalizada de Gardner, los invariantes proporcionan un método alternativo para encontrar ecuaciones de la familia generalizada de quinto orden de KdV las cuales pueden ser equivalentes a una subclase específica de la misma familia así como la transformación invertible que conecta ambas ecuaciones equivalentes. De esta forma, hemos obtenido soluciones exactas para esta familia.