Descomposición de wedderburn de álgebras de grupo. Un enfoque computacional con aplicaciones a grupos de Schur y unidades

Résumé

La presente tesis está dedicada al cálculo explícito y efectivo de la descomposición de Wedderburn de álgebras de grupo de grupos finitos sobre cuerpos de característica cero, El método presentado se basa principalmente en una demostración algorítmica del Teorema de Brauer-Witt. Al principio de los 1950, Richard Brauer y Ernst Witt, independentemente, descubrieron que cuestiones sobre el grupo de Schur se pueden reducir al estudio de las álgebras ciclotómicas. El resultado es conocido como el Teorema de Brauer-Witt y se puede decir que casi todos los resultados sobre grupos de Schur dependen de él. La primera parte de la memoria, titulada "Descomposición de Wedderburn", contiene dos capítulos que presentan dos aspectos del método propuesto para el cálculo de las componentes de Wedderburn: uno más teórico dedicado a la presentación de la aproximación de la descomposición de Wedderburn de álgebras de grupo, y otro más técnico desde el punto de vista de la implementación en un paquete informatico del sistema GAP llamado wedderga. La segunda parte de la memoria está dedicada a las aplicaciones del cálculo explícito de la descomposición de Wedderburn de álgebras de grupo que proponemos. Se clasifican las álgebras de grupo de tipo Kleiniano y se estudian las unidades de RG para R un orden en un cuerpo numérico. También se estudian los grupos de Schur de cuerpos numéricos y se calcula el máximo de los indices locales de las álgebras de Schur de un cuerpo de números abeliano. Por último, se estudian algunos aspectos de las propiedades de las álgebras cíclicas ciclotómicas como cuándo existe un isomorfismo entre este tipo de álgebras sobre cuerpos de números abelianos y cuándo el subgrupo generado por las clases que contienen álgebras cíclicas ciclotómicas tiene índice finito en el grupo de Schur de un cuerpo de números abeliano.