Construcción de wavelets basados en polinomios ortogonales clásicos y aplicaciones

Resumen

Los sistemas ortogonales son ampliamente utilizados en todas las áreas aplicadas de la Ciencia, Su uso permite realizar operaciones complicadas sobre la función trabajando directamente sobre los coeficientes que la representan según el sistema ortogonal. Entre los sistemas que resultan más conocidos se encuentran los polinomios ortogonales, que constituyen una valiosa herramienta por tratarse de objetos matemáticos de gran sencillez y aplicabilidad al mismo tiempo. En su origen, estos sistemas polinómicos están íntimamente relacionados con la solución de problemas físicos muy relevantes. La introducción, a principios del siglo XX, de la integral de Lebesgue, no sólo fue fundamental para el desarrollo de una teoría general de familias ortogonales, sino que posibilitó definir otras tales como las de Haar y Shannon, que son consideradas el prototipo de sistemas de ondículas o wavelets y cuya aparición, a principios de los años 80, obedece a la necesidad de encontrar una representación matemática que se adapte bien a ciertos problemas que plantea el estudio de señales poco regulares o muy cambiantes en frecuencia. Señales para las que la clásica transformada de Fourier no resulta una herramienta del todo adecuada o satisfactoria. En este trabajo hemos empleado polinomios ortogonales para construir sistemas de wavelets. Se han definido nuevas transformadas continuas y discretas de ondículas y también se ha conseguido mejorar algunos aspectos de la aproximación con wavelets ya conocidos mediante la utilización de polinomios ortogonales clásicos. Se muestran numerosas aplicaciones de los nuevos sistemas de wavelets en relación al tratamiento de señales: reconstrucción y descomposición, compresión, eliminación de ruido, detección de singularidades, detección de discontinuidades en derivadas y también en frecuencias, reducción del fenómeno Gibbs, etc. Mostramos cómo las funciones wavelets que introducimos resultan en muchos casos igual de eficaces que otras ya conocidas, pero disminuyen el coste computacional. Pensamos que la Memoria, ya sea total o parcialmente, puede resultar de utilidad tanto a aquellos que manejan wavelets como a estudiantes que requieran un material de inicio para la comprensión matemática de la teoría de ondículas.