Problema de Lambert para órbitas perturbadasAplicación a la búsqueda de órbitas cuasiestacionarias

Resumen

Kepler, a comienzos del siglo XVII, enunció las tres leyes que describen el movimiento de los planetas. A finales del mismo siglo Newton da un paso más y formula la ley de gravitación universal, reuniendo los principios de la Mecánica Celeste y del Cálculo Diferencial para explicar el movimiento de los cuerpos en el espacio. La puesta en órbita del primer satélite artificial, el Sputnik-1, el 4 de octubre de 1957, supone un punto de inflexión en este tema, marcando el inicio de la era espacial y el nacimiento de la Astrodinámica, área que introduce nuevos problemas como el diseño de complejas trayectorias a seguir por una nave espacial. A lo largo de las últimas cinco décadas se han realizado gran variedad de misiones, siendo la determinación previa de la órbita que seguirá el orbitador una de las partes fundamentales de cada misión. Esto ha permitido la extensión e incremento progresivo del espectro de posibilidades de las misiones espaciales, que a día de hoy sigue su expansión. Existe una gran variedad de órbitas de satélites artificiales y entre las más conocidas están las órbitas síncronas, caracterizadas por que el valor del periodo orbital coincide con el del periodo de rotación del planeta respecto al que orbitan. Para la Tierra éstas son llamadas geosíncronas. Un subconjunto de este grupo son las órbitas estacionarias, u órbitas síncronas cuya excentricidad e inclinación son nulas; esto hace que estas órbitas aparezcan como puntos fijos en el ecuador celeste, para un observador en la superficie del planeta. Syncom-2 es el primer satélite puesto en órbita geoestacionaria, en 1963, confirmando las ventajas que puede ofrecer el uso de éste tipo de órbita en áreas como: telecomunicaciones, geodesia, climatología, militar, entre otras. Desde entonces se han puesto en esta órbita centenares de satélites, de forma que la franja ecuatorial, donde se encuentran, comienza a estar congestionada, (a día de hoy 416 satélites geoestacionarios están activos). Estudios realizados por Milani et al., (2011) describen cómo es la distribución de los orbitadores en esta zona del espacio. A fines prácticos la zona geoestacionaria forma una aro o anillo (Flohrer et al., 2011), fraccionada en pequeñas ventanas continuas con espacios disponibles para albergar uno o varios satélites, llegando a tener tamaños del orden de 1º en longitud y 0º.2 en latitud (Capderou, 2005) y algunos casos especiales del orden de 0º.05 en longitud y latitud (Evans 1999). Con el escenario presente de la zona geoestacionaria y la demanda requerida actualmente, principalmente en telecomunicaciones, que crece aún más por la mala cobertura de estos satélites para zonas de latitud alta, han surgido planteamientos que conducen a indagar si existen otro tipo de órbitas que permiten extender a otras zonas el concepto de órbita geoestacionaria. Para comunicaciones en lugares de latitud alta, la alternativa más utilizada ha sido las órbitas tipo Molniya. Estas órbitas, ideadas en la Unión Soviética en 1960, están caracterizadas por tener un periodo orbital de medio día sidéreo, excentricidad muy alta e inclinación crítica. Con este periodo se consigue un repetición de la traza, cada dos vueltas, cubriendo siempre las mismas zonas sobre la superficie terrestre. La alta excentricidad permite que el satélite se encuentre la mayor parte de su periodo cerca del apoastro. Finalmente, la inclinación crítica hace que la posición del apoastro se mantenga estable. Con sólo tres satélites se asegura una cobertura en todo momento ya que uno de ellos siempre estará en el apoastro, que supondremos situado por encima del lugar de la Tierra donde establecer las comunicaciones. La idea de que las órbitas repiten traza pueden constituir una buena solución para las comunicaciones, siempre que se consiga una ventana de visibilidad que sea pequeña o en la que siempre aparezca algún satélite de la misión. Otra alternativa más reciente se basa en el uso de fuerzas externas (motores de bajo impulso, velas solares, etc) para construir órbitas exóticas o no-keplerianas que McInnes (2011) llama órbitas desplazadas. Éstas órbitas están situadas en un plano orbital paralelo al ecuatorial con una rotación sincronizada con el planeta, haciendo que desde la superficie el satélite se vea como un punto estacionario fuera del ecuador. McKay et al., (2009); Anderson & Macdonald (2010), estudian la estabilidad de éste tipo de órbitas demostrando que es factible su diseño aplicando pequeñas fuerzas producidas por sistemas de propulsión de bajo empuje, con magnitud constante y manteniendo la misma dirección. La posibilidad del uso de impulsos discretos para generar órbitas desplazadas aparece en el trabajo de Nock (1984), con el objetivo de observar los anillos de Saturno desde las sondas Voyager. McInnes (2011) considera el uso de estos impulsos, en lugar de utilizar motores de bajo empuje de forma continua, para generar desplazamientos y poder formar familias de órbitas desplazadas no ecuatoriales y circulares. La propuesta de McInnes consiste en aplicar una serie de maniobras orbitales a intervalos de tiempo constante, aplicadas cuando el satélite cruce un punto fijo del sistema de referencia planetocéntrico. Con esto, la órbita está formada por arcos cerrados que en un sistema espacial se convierten en arcos abiertos. La órbita final en el sistema espacial no es exactamente paralela al ecuador sino que forma una especie de "corona" representada por los arcos con vértices en un paralelo. Así, en el sistema planetocéntrico, estas órbitas no aparecen como un punto fijo sino como un arco que se cierra. La obtención de cada arco, y la maniobra necesaria para recorrerlos, vienen dados en términos del movimiento relativo de un punto de la trayectoria que se obtiene a partir de la solución del sistema de ecuaciones diferenciales que rige la evolución de la posición relativa del orbitador respecto a su posición inicial, por medio de métodos numéricos que parten de su linealización obtenida en términos de la matriz de transición. Como cada arco depende del punto donde se cierra y el tiempo que se tarda en recorrerlo, este tipo de órbita la llamaremos órbita cuasiestacionaria siempre que sea visible desde algún lugar de la superficie terrestre. McInnes presenta un método numérico para el cálculo de estas órbitas, válido sólo para el modelo kepleriano, sin realizar un estudio de cómo son dichas órbitas y sin responder a la pregunta de cuántas pueden existir. En esta memoria hemos pretendido realizar un estudio profundo de dichas órbitas que permita clasificarlas por medio de sus propiedades, así como relacionar estos conceptos y propiedades con los de otro tipo de órbitas como las que repiten traza, órbitas congeladas, etc. Para ello, hemos utilizado un método clásico muy estudiado, el problema de Lambert, que hemos extendido a modelos orbitales que consideren cualquier tipo de fuerza perturbadora. El desarrollo de este estudio nos ha obligado a considerar otros problemas en los que hemos dádo nuevas aportaciones, complementando las herramientas necesarias para realizar nuestro estudio. Una de las cuestiones abordadas es la extensión del problema de Lambert a modelos orbitales perturbados. Además, con vistas a la evaluación del modelo de fuerzas hemos desarrollado un nuevo método de evaluación de las derivadas, basado en la diferenciación automática (Neidinger, 1992; Rall & Corlis, 1996; Griewank & Walter, 2008), método que permite la evaluación de cualquier orden del potencial gravitatorio, de forma rápida y eficiente, permitiendo dar las componentes de la fuerza de un modelo completo de potencial planetario y la matriz hessiana, útil para la integración de las ecuaciones variacionales, sin necesidad de programar largas y complicadas expresiones analíticas. El modelo de fuerzas y potenciales perturbadores incluye un modelo de potencial gravitatorio planetario, hasta cualquier grado y orden, fuerzas producidas por un tercer cuerpo, radiales, normales, tangenciales, entro otras. Una parte del trabajo ha consistido en la creación de un software necesario para la implementación de los métodos desarrollados, así como su aplicación sistemática para reproducir los ejemplos y casos considerados. El sofware, escrito en lenguaje C, y que hemos llamado ORBITSC, utiliza el integrador dopri8 desarrollado por Hairer et al., (1993) para la integración de ecuaciones diferenciales. Este software ha sido integrado en Orbits, que es un paquete de Mathematica que está siendo desarrollado por A. Abad & E. Lacruz, con el cual se han generado la mayor parte de las gráficas orbitales de esta memoria. Como las fuerzas que actúan en un modelo orbital pueden estar expresadas en los sistemas de referencia espacial o planetocéntrico, es indispensable expresar las fuerzas y sus derivadas, si se tratan las ecuaciones variacionales, en un sistema común y que éste coincida con el sistema en el que se está integrando. Por tanto, hemos establecido las expresiones generales de las ecuaciones fundamentales del movimiento orbital sistematizando todas las transformaciones de tal forma que en el algoritmo y en el software correspondiente se formula automáticamente en el sistema adecuado. Por otro lado, aprovecharemos los métodos de cálculo de derivadas basados en la diferenciación automática estableciendo una estrategia de evaluación de las fuerzas perturbadoras y sus derivadas. Dicha estrategia nos ha permitido obtener sus valores numéricos sin necesidad de conocer de forma explícita sus expresiones analíticas ni aplicar ninguna técnica de aproximación numérica. Con la diferenciación automática se ha generalizado el proceso del cálculo de las derivadas parciales de orden superior, introduciendo una notación que nos permita sistematizar el proceso. Además, el algoritmo desarrollado ha sido paralelizado haciendo uso de técnicas modernas como OpenMP (Chandra et al., 2001), las cuales nos permiten reducir el tiempo de CPU de evaluación de cualquier modelo orbital. En particular, aplicado a la fuerza más importante y compleja que es el potencial gravitatorio de un planeta, cuya expresión dada por Heiskanen & Moritz (1967) en términos de los polinomios asociados de Legendre muestra la enorme complejidad que presentarán sus derivadas. Para la búsqueda de arcos orbitales, hemos introducido el concepto de arcos keplerianos y orbitales como conexión entre dos puntos en una órbita kepleriana y perturbada, respectivamente. Para obtener los arcos keplerianos, conocido el tiempo de recorrido del arco, el problema se transforma en el clásico problema de Lambert, y su solución será el punto de partida de la búsqueda de los arcos orbitales, por lo que revisamos uno de los métodos más conocidos para la resolución del problema de Lambert (Battin, 1999). Para obtener los arcos orbitales, desarrollamos un método que hemos llamado método de Lambert generalizado, el cual está basado en la corrección de órbitas periódicas desarrollado por Abad et al., (2011), que consiste en la búsqueda iterativa de la corrección de las variables y el periodo de una órbita aproximada. Nuestra modificación se centra, por un lado, en el cambio de la condición de periodicidad y, por otro, en la posibilidad de mantener fijas algunas de las variables iniciales; además se incluyen fuerzas perturbadoras. El método es aplicado a la búsqueda de arcos orbitales, tanto para satélites terrestres como lunares, donde se ha considerado un modelo gravitatorio completo y, en el caso lunar, la perturbación de un tercer cuerpo. La definición de los arcos keplerianos y orbitales puede ser fácilmente extendida al sistema planetocéntrico, y por tanto estar asociada a un observador sobre la superficie del planeta. Así, el concepto de periodicidad no va asociado al de periodicidad orbital, sino a la combinación de éste con el de la rotación del planeta, conduciendo al concepto de órbitas que repiten traza en el sistema planetocéntrico. Por tanto, un arco kepleriano en el que el punto inicial coincide con el punto final lo llamaremos arco kepleriano cerrado. Su periodicidad en el sistema planetocéntrico exige que no sólo la posición coincida, sino también su velocidad. Con esto, realizamos un estudio exhaustivo de los arcos cerrados para extraer propiedades y características que los identifiquen y que posteriormente nos permitan analizar su utilidad en misiones espaciales. Aquí, al combinar los conceptos de órbitas con un arco cerrado y órbitas que repiten traza, para diseñar órbitas con "visibilidad regional", se logra obtener rangos de valores de los parámetros orbitales para seguir las especificaciones como por ejemplo las del tipo Molniya. Una importante aplicación de los arcos keplerianos está relacionada con el concepto de órbita cuasiestacionaria, la cual recorre continuamente un arco kepleriano cerrado, aplicando un impulso en el punto final del arco y siempre que éste sea visible para un observador situado en la superficie del planeta. Fundamentalmente, éstas están caracterizadas por dos parámetros: el coste y un ángulo de visibilidad. En base a éstos y como aplicación se realiza un exhaustivo estudio de todos los arcos keplerianos para órbitas alrededor de la Luna. La búsqueda de un arco kepleriano cerrado se transforma en la búsqueda de un arco kepleriano, por lo que el método de Lambert puede ser aplicado, lo que pone en manifiesto que para un punto en el espacio y un tiempo dado, existen únicamente dos arcos cerrados, uno directo y otro retrógrado, con el mismo vértice y que se recorren en ese tiempo. Como consecuencia directa, extendemos el concepto de arco kepleriano cerrado al de arco orbital cerrado, mediante el uso del método de Lambert generalizado desarrollado como parte de esta memoria. Finalmente, realizamos una validación del método estableciendo distintas estrategias en la que se prueba la viabilidad de obtener órbitas cuasiestacionarias considerando diferentes modelos orbitales perturbados. Como aplicación directa buscamos órbitas cuasiestacionarias lunares.