Procesado de imágenes mediante esquemas de multirresolución no lineales

Resumen

Las técnicas multiescala o de multirresolición son técnicas ampliamente utilizadas en la actualidad en campos tales como la matemática aplicada, la industria o el diseño industrial. Forman parte de un campo que se encuentra actualmente en expansión en el que gran cantidad de investigadores y grupos de investigación se encuentran centrando sus esfuerzos. Aplicaciones como la eliminación de ruido, el diseño industrial, la compresión de datos, la interpolación, la super-resolución de imágenes, etc. pueden ser incluidas dentro del estado del arte de estas técnicas. Los esquemas de subdivisión están basados en un ordenamiento recursivo de las frecuencias espaciales del conjunto de datos de partida. Partiendo de una resolución inicial, los datos pueden refinarse con el fin de obtener conjuntos de datos más densos o submuestrearse con el fin de obtener una menor densidad de datos. El refinamiento por subdivisión es un ingrediente esencial de los esquemas de multiresolución. Las descomposiciones tipo wavelet son ejemplos típicos usados ampliamente para el análisis y el tratamiento de datos. Esta tésis se centrará en su aplicación al tratamiento de imágenes. El marco creado por Harten para la multirresolución proporciona las herramientas necesarias para el diseño de representaciones discretas de multirresolución. Los niveles discretos de multirresolución están conectados a través de los operadores de inter-resolución. Se pueden considerar diferentes configuraciones dependiendo del operador lineal de discretización que predice los datos. Las aproximaciones clásicas están representadas por el operador de muestreo, (configuración en valores puntuales), y por los operadores de promedio (configuraciones tipo spline). Los pasos iniciales del presente trabajo empezaron con una investigación sobre la compresión de imágenes en color haciendo uso de la configuración en valores puntuales. Investigaciones que hemos realizado acerca de la estabilidad de una familia de operadores en valores puntuales han sido publicadas previmente, pero no se han incluido en la presente tésis por no caer dentro del marco general de la misma, ya que nos centraremos en operadores para promedios en celda. Dichos operadores han demostrado ser más adecuados para el procesamiento de imágenes. Las representaciones lineales de multirresolución, como las descomposiciones tipo wavelet, están asociadas a operadores de reconstrucción independientes de los datos y, por lo tanto, a operadores de predicción lineales. El hecho de introducir no linealidades en los operadores de predicción da lugar a reconstrucciones adaptativas dependientes de los datos que permiten manejar dichos datos de una manera más adaptada al problema. Es un hecho bien conocido que la eficiencia de las descomposiciones wavelet depende directamente de la presencia de discontinuidades. Los esquemas no lineales están diseñados para tener en cuenta dichas discontinuidades en los datos de entrada y adaptarse a ellas. En la actualidad, las descomposiciones no lineales tipo wavelet han ganado un gran protagonismo por su capacidad de superar los problemas introducidos por las aproximaciones lineales clásicas. Ejemplos son el Lifting Scheme y los wavelets de segunda generación o la multirresolución de Harten. Ambas aproximaciones incorporan un componente no lineal en su diseño que es el origen de sus capacidades de adaptación a las discontinuidades. A pesar de la simplicidad de su definición, en general el estudio teórico de los esquemas resultantes no es una tarea fácil. Muchos casos requieren el uso de técnicas espécificas diseñadas especialmente para el caso particular que se está tratando. La gran ventaja de la multirresolución de Harten reside en su adaptabilidad. El papel fundamental que juega el operador de reconstrucción hace posible un tratamiento específico en las discontinuidades presentadas por los datos. En general este tipo de operadores son dependientes de los datos, lo que conduce a esquemas no lineales de predicción y a descomposiciones no lineales de multirresolución. Los esquemas de multirresolución de Harten estan relacionados de forma natural con los esquemas de subdivisión a través de los operadores de predicción. De hecho, la relación entre los operadores de predicción y reconstrucción hace posible, de una manera relativamente simple, construir esquemas de subdivisión no lineales. Esta tesis se centra en el estudio de esquemas de multirresolución no lineales para datos de caracter discreto. Los resultados de los algoritmos considerados serán comparados con las aproximaciones lineales clásicas, cuyos resultados presentan efectos numéricos indeseados al tratar con datos afectados por discontinuidades. Otras aproximaciones no lineales serán utilizadas con el propósito de comparar la efectividad de los nuevos métodos propuestos. El uso de la no linealidad en el diseño del operador de reconstrucción así como el hecho de conservar ciertas propiedades presentadas por esquemas bien conocidos, permite desarrollar y analizar el nuevo esquema de multirresolución propuesto. Además, algunas de las ideas desarrolladas en este análisis pueden ser utilizadas para el estudio de otras propiedades de los algoritmos de multirresolucion o de los esquemas de subdivisión asociados, por ejemplo la estabilidad. Las técnicas desarrolladas se aplican en varios campos, que van desde la compresión hasta la interpolación o la eliminación de ruido en imágenes.