Ecuaciones elípticas con singularidades aisladas y superficies de curvatura constante

Resumen

La primera parte de la Tesis Doctoral aborda la resolución del problema de Neumann geométrico para la ecuación de Liouville tanto en un anillo como en un semiplano, considerando en este último caso la presencia de un número finito de singularidades aisladas en el borde. En todos los casos se obtienen resultados de clasificación de las soluciones tanto desde una persectiva analítica como geométrica. Una de las consecuencias relevantes de los resultados es la clasificación de las métricas conformes de curvatura constante y área finita en un semiplano, que tienen curvatura geodésica constante a trozos en el borde y un número finito de singularidades en dicho borde. Los teoremas obtenidos generalizan trabajos previos de diversos autores. La segunda parte de la Tesis Doctoral estudia la clasificación de las soluciones elípticas analíticas de una ecuación de Monge-Ampére en un disco punteado, de modo que el gradiente de la solución esté acotado alrededor de dicha singularidad. El resultado principal es la descripción bajo condiciones naturales del espacio de dichas soluciones en términos de la clase de curvas de Jordan regulares, estrictamente convexas y analíticas en el plano. El resultado obtenido generaliza fuertemente resultados previos de clasificación para algunas ecuaciones concretas de Monge-Ampére. Además, se presentan diversas aplicaciones geométricas de este resultado de clasificación en el ámbito de la teoría de superficies, para problemas de curvatura predeterminada.