Sobre la adimensionalización discriminada de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, no lineales y solución numérica mediante el método de redesaplicación a problemas mecánicos

Résumé

Resumen de la tesis: La búsqueda de grupos adimensionales de cualquier problema de ciencias o ingeniería constituye un objetivo esencial para el investigador ya que simplifica enormemente su trabajo al reducir el número de parámetros independientes de los que depende su solución a los llamados grupos o números (también monomios) adimensionales. Estos monomios están constituidos por agrupaciones de una parte del conjunto total de parámetros, magnitudes físicas y variables que intervienen en el problema. Esta reducción está basada formalmente en el hecho de que la solución de cualquier sistema de ecuaciones de gobierno que se constituye en el modelo matemático de un determinado fenómeno sujeto a leyes físicas, puede ser descrita mediante una relación entre monomios adimensionales. El primer paso para realizar la adimensionalización es elegir las magnitudes de referencia que permiten definir las variables adimensionales (una o más variables dependientes, según se trate de problemas acoplados o desacoplados, y una sola variable independiente). Las referencias, obviamente, son magnitudes con la misma dimensión que las correspondientes variables que convierten en adimensionales. En la adimensionalización clásica, éste es el único requisito que se impone, y dado que en general pueden existir diferentes opciones para elegir estas referencias, según se elija una u otra, los grupos adimensionales resultantes se expresan de diferente modo y poco se puede afirmar sobre su significado físico ni sobre su potencial valor u orden de magnitud. En primer lugar, parece conveniente elegir referencias de modo que el rango de variación del valor numérico de las variables adimensionales (dependientes e independientes) que definen sea el mismo o muy similar. Si este rango cubre el intervalo numérico [0-1] hablaremos de variables adimensionales normalizadas. La normalización permite asumir que una vez establecida la ecuación o ecuaciones adimensionales, por sustitución de las variables dimensionales por sus correspondientes adimensionales, los factores de sus sumandos (términos de las ecuaciones) formados por las variables adimensionales y sus cambios (o derivadas) son de orden de magnitud unidad en primera aproximación. Simplificadas las ecuaciones por eliminación de estos factores, lo que queda es una suma de términos o coeficientes formados por parámetros físicos y geométricos del problema, suma en la que todos los términos deben ser del mismo orden en tanto que se balancean entre sí en la nueva ecuación. Los cocientes entre estos coeficientes son los grupos adimensionales (discriminados) del problema, grupos con dos propiedades importantes: tienen un orden de magnitud unidad y pueden interpretarse físicamente como cociente de magnitudes que se balancean en la ecuación o ecuaciones de gobierno del problema. Merced a que los grupos adimensionales, tanto los que contienen incógnitas como los que no, son del orden de magnitud unidad, cuando se ha realizado la adimensionalización en forma normalizada, es obvio que la función arbitraria que los relaciona en la expresión de la solución del problema también ha de ser del orden de magnitud unidad. Este es un aspecto sobre el que se hace hincapié en las aplicaciones. Así, la modulación del orden de magnitud de un monomio dependiente por la función arbitraria de los grupos independientes es relativa, y el valor del proceso de adimensionalización normalizada se revela importante, pues un orden de magnitud unidad para los grupos dependientes es ya una información valiosa con independencia de la existencia o no de grupos independientes en el problema. Finalmente, el orden de magnitud de las incógnitas se obtiene de la solución de los monomios con incógnitas