Desigualdades geométricas con restricciones a retículos y condiciones de existencia de puntos reticulares en dominios convexos. Conjuntos extremales

Resumen

El trabajo que se presenta en esta memoria representa una aportación original e interesante a algunos de los diversos problemas abiertos que se plantean en la llamada Geometría de Números y, más concretamente, en la Teoría de Retículos, Uno de los teoremas más importantes en esta rama de las Matemáticas es el Teorema de Minkowski (1896), el cual establece que si L es un retículo arbitrario del espacio euclídeo d-dimensional E d y K es un conjunto convexo de E d centralmente simétrico que no contiene ningún otro punto de L en su interior salvo el origen, entonces el volumen d-dimensional de K es menor o igual que 2 d det(L). Este simple pero fundamental resultado ha motivado muchos estudios y ha dado lugar a una gran cantidad de problemas en la Geometría de Números, muchos de los cuales responden a la siguiente formulación general: ?Bajo qué condiciones se puede asegurar que un conjunto convexo dado contiene algún punto de un retículo L, independientemente de su posición en el espacio euclídeo? Así, por ejemplo, en 1955 Ehrhart sustituyó, para el caso del retículo entero bidimensional Z 2, la hipótesis de simetría central por la condición más general de que el centro de gravedad del conjunto convexo K se encuentre en el origen, demostrando entonces que si K no contiene en su interior ningún otro punto de Z 2 entonces su área es menor o igual que 4.5, dándose la igualdad si y sólo si K es, salvo transformaciones unimodulares enteras, un determinado triándulo isósceles. Más recientemente, en 1982 Scott sustituye en el resultado de Ehrhart el área por la anchura, conjeturando que, bajo dichas hipótesis, la anchura de K debe ser menor o igual que 3 2 (1/2) /2 y que el triángulo anteriormente citado es la única figura para la cual se alcanza la anchura máxima. Motivados por todo ello, en esta memoria su autora profundiza en el estudio de este tipo de problemas, con el fin de aportar nuevas desigua