Sistemas monótonos, grado topológico y estabilidad orbital en tres dimensiones

Abstract

La determinación de la estabilidad orbital de las órbitas cerradas de sistemas autónomos es uno de los problemas mas antiguos dentro de la teoría de sistemas dinámicos, En dos dimensiones el Teorema de Poincare-Bendixon permite demostrar existencia de órbitas cerradas orbitalmente estables bajo condiciones bastante generales. En tres dimensiones solo han aparecido resultados parciales en estos últimos anos. En esta Tesis se pretende hacer aportaciones nuevas en este campo. En primer lugar, utilizamos los resultados de M. Hirsch y H. Smith sobre sistemas competitivos para definir una nueva clase de sistemas para la cual existe un principio de reducción de la dimensión, y obtener el correspondiente resultado de existencia de órbitas cerradas orbitalmente estables. Como consecuencia deducimos que el trabajo sobre estabilidad orbital de R. A. Smith se puede deducir, en el caso tres-dimensional, de la teoría general de sistemas monótonos. En segundo lugar, estudiamos sistemas para los cuales no existe un principio de reducción de la dimensión. Para estos sistemas obtenemos resultados de existencia de órbitas cerradas orbitalmente (asintóticamente) estables usando teoría de grado topológico. Finalmente aplicamos nuestros resultados a la ecuación de Rauch.