Resolución geométrica del problema de cauchy para superficies y aplicaciones

Resumen

En esta memoria se estudia el siguiente problema de Cauchy geométrico para superficies inmersas en un espacio ambiente M: Sea A una clase de superficies analíticas inmersas en M, sea beta(s) una curva regular analítica en M, P(s) una distribución analítica de planos orientados sobre el fibrado tangente de M. Definida a lo largo de beta(s) de modo que beta(s) de modo que beta'(s) está en Pi(s) para todo s. El problema de Cauchy para A pide encontrar explícitamente todas las superficies de la clase A que pasen por beta(s) con distribución de planos tangentes orientados dada por P(s). Este problema tiene un antecedente clásico en el problema de Björling para superficies minimales en R^3. Dicho problema fue propuesto en 1844 por el matemático sueco E.G.Björling, y resuelto por H.A. Schwarz en 1890 por medio de una fórmula en términos de datos holomorfos, la cual recupera la única solución a dicho problema. Los resultados que vamos a presentar en esta memoria han sido motivados por la observación fundamental de que la solución de Schwarz del problema de Björling en R^3 puede ser vista como una consecuencia geométrica de la resolución del problema de Cauchy para la ecuación de Laplace. Dicha observación sugiere una línea de trabajo para resolver el problema de Cauchy para superficies en diversos ambientes. Un primer objetivo que alcanzamos consiste en aplicar la solución al problema de Cauchy para la ecuación de Laplace para resolver el problema de Cauchy geométrico en ambientes más generales que $R^3$, y estudiar la geometría de las superficies en cuestión mediante dicha resolución. En este sentido, hemos resuelto dicho problema para las superficies espaciales de curvatura media cero en el espacio n-dimensional de Lorentz-Minkowski L^n. Entre las aplicaciones se encuentran resultados referentes a superficies minimales completas de curvatura total finita en R^n, o superficies helicoidales maximales en L^3.