Impact of the unsteady aerodynamics of oscillating airfoils on the flutter characteristics of turbomachines

Resumen

This thesis studies the unsteady aerodynamics of oscillating airfoils in the low reduced frequency regime, with special emphasis on its impact on the scaling of the work per cycle curves, using an asymptotic approach and numerical experiments. The unsteady aerodynamics associated with the vibration of turbine and compressor bladed-discs and stator vanes is nowadays routinely analysed within the design loop of the aeroengine companies, and it has also been the subject of dedicated experiments. The final aim is the derivation of the aerodynamic stability of rotor blades and the quantification of the aerodynamic damping, which is the result of the application of the unsteady pressures on the airfoil displacements. Little attention has been historically paid to the understanding of vibrating airfoil aerodynamics, since this is not a figure of merit in itself for the aeroelastic analyst, and then, little understanding has been gained in recent years about the physics of these type of flows and its impact on the aerodynamic damping. As a consequence, although there are several trends that are well known by the aeroelastic community, such as the stabilisation with the reduced frequency, or the different shape of the work per cycle curves for LPTs and compressors, the physics which is behind this behaviour is not really well understood and these statements lack of a sound theoretical support. A perturbation analysis of the linearised Navier-Stokes equations for real modes at low reduced frequency is presented and some conclusions are drawn. The first important result is that a new parameter, the unsteady loading of the airfoil, ULP, plays an essential role in the trends of the phase and modulus of the unsteady pressure caused by the vibration of the airfoil. This parameter depends solely on the steady flow-field on the airfoil surface and the vibration mode-shape. As a consequence, the effect of changing the design operating conditions or the vibration mode onto the work-per- cycle curves (and therefore onto the stability) can be easily predicted and, what is more important, quantified without conducting additional flutter analysis. For lightly unsteady loaded airfoils, the unsteady pressure and the influence coefficients scale linearly with the reduced frequency whereas the phase departs from π/2 and changes linearly with the reduced frequency. As a consequence, the work-per- cycle scales linearly with the reduced frequency for any inter-blade phase angle, and it is independent of its sign (the work-per-cycle curves are symmetric with respect inter- blade phase angle zero, even for an asymmetric cascade, which is a surprising effect). For highly unsteady loaded airfoils, the unsteady pressure modulus is fairly constant exhibiting only a small correction with the reduced frequency, while the phase departs from zero and varies linearly with it. In this case only the mean value of the work- per-cycle scales linearly with the reduced frequency. This behavior is independent of the geometry of the airfoil and the modeshape in first order approximation in the reduced frequency. For symmetric cascades the work-per-cycle scales linearly with the reduced frequency irrespectively of whether the airfoil is loaded or not. It is readily concluded that for lightly unsteady loaded airfoils, or symmetric cascades, it is not possible to change the stability by reduced frequency criterion. These conclusions have been numerically verified on several airfoil geometries. With this aim, simulations using a frequency domain linearised Navier-Stokes solver have been carried out on rows of a low-pressure turbine airfoil section, the NACA65 and NACA0012 sections, and a flat plate (which is commonly considered as the simplest representation of a compressor airfoil, and the tip of the last stages of heavy duty land-based power turbines), to show the correlation between the actual value of the unsteady loading parameter (ULP) and the flutter characteristics for different airfoils, operating conditions and mode-shapes. Both, the traveling-wave and influence coefficient formulations of the problem are used in combination to increase the understanding of the ULP influence in different aspects of the unsteady flow-field. It is concluded that, for a blade oscillating in a prescribed motion at design conditions, the ULP can quantitatively predict the effect of loading variations due to changes in the incidence, and also in the mode shape. It is also proved that the unsteady loading parameter can be used to compare the flutter characteristics of different airfoils. The beauty of the ULP derived in the present thesis is that it is able to account for the effect on the stability of the work-per-cycle curves of the mode-shape and the aerodynamic loading distribution (in a quantitative way), and the geometry (in a qualitative way), in the low reduced frequency limit, without performing any unsteady simulation. As a consequence, the parameter is well suited for engineering conceptual studies, since it is able to anticipate the effect of design changes in the aerodynamic damping. The academic implications of the findings of the present thesis are not negligible either, since: i) it provides a theoretical support for some well-known fundamental concepts related to the stability of oscillating blades, and ii) it introduces new fundamental concepts, such as for example the importance of the symmetry of the cascade, or the unteady loading parameter, which have been proved being of major relevance in the flutter characteristics of turbomachinery blades. Esta tesis estudia la aerodinámica no estacionaria de perfiles oscilantes, en el régimen de frecuencia reducida baja, con especial énfasis en el impacto que esta tiene en el escalado de las curvas de trabajo por ciclo. Con esta finalidad, se utilizarán métodos asintóticos y experimentos numéricos. La aerodinámica no estacionaria asociada a la vibración de turbinas y compresores, y vanos de estator se analiza comúnmente de forma rutinaria dentro del bucle de diseńo en las compańías de motores de aviación, y ha sido el objeto de muchos experimentos dedicados. El objetivo final de estos esfuerzos es la derivación de la estabilidad aerodinámica de los álabes de rotor y la cuantificación del damping aerodinámico, que es el resultado de la aplicación de las presiones no estacionarias sobre los desplazamientos del álabe. Históricamente, se ha prestado poca atención a comprender la aerodinámica de perfiles vibrantes, ya que no es una figura de mérito en sí mismo para el analista aeroelástico y, como consecuencia, se ha ganado muy poco conocimiento en los últimos ańos acerca de la física de este tipo de flujos, y su impacto en el damping aerodinámico. Aunque hay ciertas tendencias que son bien conocidas por la comunidad aeroelástica, como la estabilización con la frecuencia reducida, o la diferente forma de las curvas de trabajo por ciclo de compresores y turbinas de baja presión; la física que está detrás de estos comportamientos no es realmente entendida, y estas observaciones carecen de un soporte teórico. En la tesis se presentará un análisis de perturbaciones a baja frecuencia reducida de las ecuaciones de Navier-Stokes linealizadas, y se derivarán conclusiones prácticas. El primer resultado importante es que un nuevo parámetro, la carga aerodinámica no estacionario del álabe (ULP por sus siglas en inglés), juega un papel esencial en la tendencia de la fase y el módulo de la presión no estacionaria generada por la vibración del álabe. Este parámetro depende solo del flujo base estacionario en la superficie del álabe y de la forma modal de la vibración. Como consecuencia directa, el efecto de cambiar las condiciones de operación de diseńo en las curvas de trabajo por ciclo (y, por tanto, en la estabilidad) puede ser predicho fácilmente y, lo que es más importante, cuantificado, sin realizar ningún análisis de flameo adicional. Se concluye que, para perfiles débilmente cargados, la presión no estacionaria y los coeficientes de influencia escalan linealmente con la frecuencia reducida, mientras que su fase parte de π/2 y cambia linealmente con la frecuencia reducida. Como consecuencia, el trabajo por ciclo escala linealmente con la frecuencia reducida para cualquier valor de inter-blade phase angle, y es independiente de su signo (las curvas de trabajo por ciclo son simétricas con respecto al inter-blade phase angle cero, incluso cuando se considera una cascada asimétrica, lo cual es una conclusioń sorprendente). Para perfiles altamente cargados, el módulo de la presión no estacionaria es constante, y solamente presenta una pequeńa corrección con la frecuencia reducida, mientras que la fase parte de cero y varía linealmente con este parámetro. En estos casos, solamente el valor medio del trabajo por ciclo escala linealmente con la frecuencia reducida. El comportamiento predicho por la teoría para ambos casos es en primera aproximación, independiente de la geometría del perfil y de la forma modal de vibración. Para cascadas simétricas, el trabajo por ciclo escala linealmente con la frecuencia reducida, independientemente de que el perfil esté cargado o no. La consecuencia directa es que para perfiles débilmente cargados y para cascadas simétricas, no es posible cambiar la estabilidad de la configuración utilizando la frecuencia reducida. Estas conclusiones se han verificado numéricamente en distintas geometrías de álabes. Se ha realizado una campańa de simulaciones utilizando un solver lineal de las ecuaciones de Navier-Stokes en el dominio de la frecuencia, utilizando los siguientes perfiles: un perfil correspondiente a una turbina de baja presión, los perfiles NACA65 y NACA0012, y placa plana (que se considera representativa de la parte superior de un álabe de compresor). El objetivo final es probar que se cumplen las tendencias predichas para la amplitud y fase de la presión no estacionaria, y para las curvas de trabajo por ciclo, y mostrar la correlación entre el valor calculado del parámetro de carga no estacionario (ULP) y las características en flameo para distintos perfiles, condiciones de operación y formas modales de vibración. Se han utilizado las formulaciones de coeficientes de influencia y de onda viajera en combinación para aumentar la comprensión de la influencia del ULP en distintos aspectos del campo fluido no estacionario. Se concluye que, para un álabe oscilando con un movimiento prescrito en condiciones de diseńo, el ULP puede predecir de forma cuantitativa el efecto de variar el loading estacionario, debido a cambios en la incidencia, y el efecto de cambiar la forma modal. Se prueba también que el ULP puede ser utilizado también para comparar las características en flameo entre distintos perfiles. La belleza del parametro de carga no estacionario derivado en la presente tesis es que es capaz de predecir el efecto en la estabilidad de cambios en la forma modal de vibración y en la distribución de carga aerodinámica (de forma cuantitativa), y en la geometría del perfil aerodinámico (de forma cualitativa), en el regimen de frecuencia reducida baja, sin realizar ninguna simulación no-estacionaria. Como consecuencia, el parámetro es muy válido desde el punto de vista ingenieril para estudios aerodinámicos conceptuales, ya que es capaz de predecir el efecto de cambios en el diseńo en el damping aerodinámico. Las implicaciones académicas tampoco son despreciables, ya que: i) aporta un soporte teórico a algunos de los conceptos fundamentales relativos a la estabilidad de perfiles vibrantes existentes hasta la fecha y ii) introduce una serie de conceptos nuevos, como la importancia de la simetría de la cascada, entre otros, a los que no se había prestado atención con anterioridad, y son de gran relevancia en las características de flameo de perfiles de turbomaquinaria.