Buscando estructura en el grupo de unidades de un anillo de grupo con coeficientes enteros

Resumen

La memoria de tesis doctoral se enmarca en el contexto de Álgebra no Commutativa, y más concretamente en el de la generalización del concepto de extensión entera asociada a un cuerpo de números. En esta generalización el papel de los cuerpos de números lo desempeñan las álgebras de grupo con coeficientes racionales sobre grupos finitos QG, y sus extensiones enteras son los órdenes clásicos, entre los cuales destacan por su importancia los anillos de grupo con coeficientes enteros sobre grupos finitos ZG. El objeto de la memoria es estudiar la estructura del grupo de las unidades de anillos de grupo con coeficientes enteros, incidiendo en el análisis de la estructura virtual, es decir, la estructura de subgrupos de índice finito. Los argumentos utilizándose alimentan de la conexión entre las unidades de diferentes ordenes en anillos semisimples, así como la presentación de algunos de ellos en términos de la descomposición de Wedderburn del álgebra racional de grupo QG. También se hace uso de argumentos de tipo geométrico y topológico, que permite estudiar la estructura de ciertos grupos (discretos) en términos de sus acciones sobre espacios métricos. Hagamos un análisis más concreto de los resultados más importantes que aparecen en la memoria: 1,- En el Capítulo 2 de la memoria se avanza en la comprensión de las relaciones existentes en el grupo generado por un tipo de unidades llamadas unidades bicíclicas, centrándonos en el caso del grupo generado por dos unidades bicíclicas para el caso particular de grupo diédricos, demostrando en este caso que con una condición adicional, el grupo generado por dos unidades bicíclicas del mismo tipo es abeliano libre o bien libre de rango 2. 2,- En el Capítulo 3 de la memoria se calcula un subgrupo concreto de índice finito en el grupo de las unidades de un anillo de grupo con coeficientes enteros ZG que es el producto directo de grupos libre para todos los a