A Boolean-valued Models Approach to L-Convex Analysis, Conditional Risk and Stochastic Control

Resumen

El análisis con Valores Booleanos es una rama del análisis funcional, que consiste en estudiar las propiedades de objetos matemáticos a través de sus interpretaciones en distintos modelos de la teoría de conjuntos cuyas construcciones utilizan distintas álgebras de Boole. El análisis con valores Booleanos proviene de la formalización dada por Scott, R. Solovay, and P. Vopenka del método de forzamiento que Paul Cohen usó para probar la hipótesis del continuo. La teoría de dualidad de medidas de riesgo es una rama de las matemáticas financieras. En particular, la teoría de dualidad de medidas de riesgo condicionales estudia el caso en el que se considera un flujo de información dinámica en el tiempo. La dificultad de este problema ha motivado recientes desarrollos en análisis funcional como el análisis L0-convexo y la teoría de conjuntos condicionales. Esta tesis tiene por objetivo: 1. Mostrar que tanto el análisis L0-convexo como la teoría de conjuntos condicionales son casos particulares del análisis con valores Booleanos y usar las herramientas de una bien conocida y profunda teoría matemática. 2. Buscar aplicaciones a problemas de matemáticas financieras. Resultados y metodología: En el Capítulo 1 se estudia la estructura algebraica y topológica de L0-módulos a través de una miscelánea de resultados y ejemplos límite de L0-módulos. En el Capítulo 2 se demuestra que el análisis L0-convexo es una interpretación del análisis convexo clásico en un modelo con valores Booleanos adecuado. Esto permite transcribir teoremas clásicos del análisis convexo en nuevos teoremas de análisis L0-convexo, los cuales son ciertos sin la necesidad de una demostración. Por ejemplo, se dan versiones del Teorema de Punto Fijo de Brouwer, del Teorema de Eberlein-Smulian, del Teorema de Krein-Smulian, del Teorema de Mazur y del Teorema de compacidad de James así como una versión perturbada de este último. Se prueba que los resultados principales del análisis L0-convexo. En el Capítulo 3 se demuestra que la teoría de conjuntos condicionales es una interpretación de la teoría de conjuntos clásica en un modelo Booleano adecuado. Como aplicación, se dan versiones condicionales de teoremas clásicos de análisis funcional, los cuales son ciertas sin la necesidad de una demostración. En el Capítulo 4 se muestra que la teoría de dualidad de medidas de riesgo condicionales es una interpretación de la teoría de medidas de riesgo convencionales en un modelo con valores Booleanos adecuado. Como consecuencia, se obtiene que cada teorema de representación dual de medidas de riesgo convencionales puede ser interpretado como un teorema de representación dual de medidas de riesgo condicionales. Como aplicación, se establece un teorema general de representación robusta de medidas de riesgo condicionales. Se estudia la forma de este teorema en el caso de módulos de tipo Lp, módulos de tipo Orlicz y módulos de tipo corazón de Orlicz. En el Capítulo 5, aplicando análisis L0-convexo, se estudia optimización de control estocástico con dependencia de parámetros en tiempo finito. Se demuestran dos teoremas de existencia de soluciones óptimas: uno bajo condiciones de compacidad en los controles y otro sin restricciones en los controles pero con condiciones más fuertes en los generadores progresivos y regresivos. Estos resultados se aplican a problemas concretos de maximización y reparto de utilidad. Usando las técnicas de la tesis, se da una nueva demostración del teorema de Dalang-Morton-Willinger. Conclusiones: Se demuestra que tanto el análisis L0-convexo como la teoría de conjuntos condicionales son casos particulares del análisis con valores Booleanos. En particular, el principio de transferencia permite establecer una analogía del análisis clásico en L0-módulos. Asimismo, se concluye que estas herramientas pueden ser aplicadas satisfactoriamente al riesgo condicional y el control estocástico.