Técnicas numéricas no lineales para el tratamiento de datos con discontinuidades

Résumé

En esta tesis de doctorado, hemos intentado diseñar algoritmos capaces de manejar datos discontinuos. Hemos centrado nuestra atención en tres aplicaciones principales: -Integración numérica más términos de corrección. En esta parte de la tesis, construimos y analizamos una nueva técnica no lineal que permite obtener integraciones numéricas precisas de cualquier orden utilizando datos que contienen discontinuidades, y cuando el integrando solo se conoce en puntos de la malla. La novedad de la técnica consiste en la inclusión de términos de corrección con una expresión cerrada que depende del tamaño de los saltos de la función y sus derivadas en las discontinuidades, cuya posición se supone conocida. La adición de estos términos permite recuperar la precisión de las fórmulas clásicas de integración numérica cerca de las discontinuidades, ya que estos términos de corrección tienen en cuenta el error que cometen las fórmulas clásicas de integración hasta su precisión en las zonas de suavidad de los datos. Por lo tanto, los términos de corrección se pueden agregar durante la integración o como un post-proceso, lo cual es útil si el cálculo principal de la integral ya se ha realizado utilizando fórmulas clásicas. Durante nuestra investigación, logramos concluir varios experimentos numéricos que confirmaron las conclusiones teóricas alcanzadas. Los resultados de esta parte de la tesis se incluyeron en el artículo [1], publicado en la revista Mathematics and Computers in Simulation, una revista internacional que pertenece al primer cuartil del Journal of Citations Report. -Interpolación de Hermite más términos de corrección. Esta técnica (sin términos de corrección) se utiliza clásicamente para reconstruir datos suaves cuando la función y sus derivadas de primer orden están disponibles en ciertos nodos. Si las derivadas de primer orden no están disponibles, es fácil establecer un sistema de ecuaciones imponiendo algunas condiciones de regularidad sobre los nodos. Este proceso conduce a la construcción de un spline de Hermite. El problema del spline de Hermite descrito es que se pierde la precisión si los datos contienen singularidades (nos centraremos fundamentalmente en discontinuidades en la función o en la primera derivada, aunque también analizaremos qué ocurre cuando hay discontinuidades en la segunda derivada). La consecuencia es la aparición de oscilaciones, si hay una discontinuidad abrupta en la función, que afecta globalmente la precisión del spline, o el suavizado de las singularidades, si las discontinuidades están en las derivadas de la función. Nuestro objetivo en esta parte de la tesis es la construcción y análisis de una nueva técnica que permite el cálculo preciso de derivadas de primer orden de una función cerca de las singularidades utilizando un spline cúbico de Hermite. La idea es corregir el sistema de ecuaciones del spline para alcanzar la precisión deseada incluso cerca de las singularidades. Una vez que hemos calculado las derivadas de primer orden con suficiente precisión, se agrega un término de corrección al spline de Hermite en los intervalos que contienen una singularidad. El objetivo es reconstruir funciones suaves a trozos con precisión O(h4) incluso cerca de las singularidades. El proceso de adaptación requerirá algún conocimiento sobre la posición del salto, así como del tamaño de los saltos en la función y algunas derivadas en dicha posición. Esta técnica puede usarse como post-proceso, donde agregamos un término de corrección al spline cúbico de Hermite clásico. Durante nuestra investigación, obtuvimos pruebas para la precisión y regularidad del spline corregido y sus derivadas. También analizamos el mecanismo que elimina el fenómeno Gibbs cerca del salto en la función. Además, también realizamos varios experimentos numéricos que confirmaron los resultados teóricos obtenidos. Los resultados de esta parte de la tesis se incluyeron en el artículo [2], publicado en la revista Journal of Scientific Computing, una revista internacional que pertenece al primer cuartil del Journal of Citations Report.-Super resolución. Aunque se presenta en última posición, este tema marcó el comienzo de esta tesis, donde centramos nuestra atención en algoritmos de multiresolución. La super resolución busca mejorar la calidad de imágenes y videos con baja resolución agregando detalles más finos, lo que resulta en una salida más nítida y clara. Esta parte de la tesis es muy breve y solo trata de reflejar el trabajo que se realizó para obtener el D.E.A., ya que poco después centramos nuestra atención en otras líneas de investigación que aparentaban ser algo más prometedoras para la elaboración de esta tesis.