Extensión de la teoría de potencias fraccionarias de operadores

Abstract

Se extiende la teoria de potencias complejas de operadores en espacios de Banach a una nueva clase de operadores que incluye entre otros, a los operadores con resolvente polinomicamente acotada y a los no negativos, No se requiere ninguna hipotesis de densidad de dominio o rango del operador y solo se exige a la resolvente una cierta acotacion uniforme en el semieje real negativo abierto. Se estudia la clase introducida y se generan ejemplos teoricos. Esta clase tambien contiene una amplia gama de operadores diferenciales entre ellos los operadores elipticos en espacios de funciones Holder continuas, que pertenecen a esta clase y no son sectoriales. El estudio del semigrupo asociado al operador se realiza, en unos casos gracias a la construccion de un Calculo Funcional y en otros, trabajando directamente sobre integrales a lo largo del semieje real negativo. La definicion se construye a partir de las propiedades del semigrupo y de los resultados sobre teoria de potencias de operadores no negativos en espacios localmente convexos. Se prueban las propiedades de las potencias referentes a exponentes enteros, la aditividad, la multiplicatividad cuando esta tiene sentido, y se justifica que no se cumple en general el teorema espectral. Bajo ciertas condiciones de densidad, se demuestra que los semigrupos asociados son analiticos de orden de crecimiento polinomial en cero y se obtiene su generador completo. Finalmente se analiza el llamado problema de Cauchy con defecto de orden mayor que uno, asociado a un operador de estas clases. La teoria puede extenderse a espacios localmente convexos sucesionalmente completos.